在 IID 采样的假设下, 每个实验单元有四个随机变量 ${\displaystyle \{X,Z,Y(1),Y(0)\}}$. 我们可以分解为 $$\mathbb{P}\{X,Z,Y(1),Y(0)\}=\mathbb{P}(X)\mathbb{P}(Y(1),Y(0)|X)\mathbb{P}(Z|X,Y(1),Y(0)),$$ 这里

• ${\displaystyle \mathbb{P}(X)}$ 是协变量分布;
• ${\displaystyle \mathbb{P}(Y(1),Y(0)|X)}$ 是在 ${\displaystyle X}$ 条件下的结果分布;
• ${\displaystyle \mathbb{P}(Z|X,Y(1),Y(0))}$ 是在 ${\displaystyle X}$ 条件下的实验处理分布, 也叫实验分配机制.

一般来说我们不想为协变量建模, 因为它们是在实验处理和结果之前就存在的背景信息. 如果我们要在结果模型外更进一步, 就需要关注实验分配机制.

1 倾向得分作为降维工具

1.1 理论介绍

定理说明了在 ${\displaystyle e(X)}$ 上的条件可以去除 ${\displaystyle X}$ 带来的所有混杂性; ${\displaystyle e(X)}$ 将取值从 ${\displaystyle X}$ 的多维压缩到 ${\displaystyle 0\sim 1}$ 上的一维值.

1.2 倾向得分分层

定理 1.1 启发我们考虑倾向得分分层. 我们从简单的情形开始, 假设倾向得分的取值在 ${\displaystyle \{e_1,\cdots ,e_K\}}$ 中, ${\displaystyle K\ll n}$. 则定理 1.1 变为 $$Z\perp \perp \{Y(1),Y(0)\}|e(X)=e_k,k=1,\cdots ,K.$$ 因此我们有一个 SRE: ${\displaystyle K}$ 个独立的 CRE.

一般来说, 倾向得分是未知且非离散的. 我们可以拟合一个 ${\displaystyle \mathbb{P}(Z=1|X)}$ 的模型 (例如 ${\displaystyle Z|X}$ 的 Logistic 模型) 来获取 ${\displaystyle \hat{e}(X)}$. 例如取各个分位数 ${\displaystyle e_k}$: $$Z\perp \perp \{Y(1),Y(0)\}|{\hat{e}}^{\prime }(X)=e_k,k=1,\cdots ,K.$$

关于 ${\displaystyle K}$ 的取值, 小的话精度不够, 大的话每层数据不够, 一般来说取 ${\displaystyle K=5}$ 比较合适.

2 倾向得分加权

2.1 理论介绍

从这个定理看出, 仅需一个权重 ${\displaystyle e(X)}$ (也称它为 重合度), 就可以通过总体来得到不同组的期望.

2.2 逆倾向得分加权估计量

受定理 2.1 启发, 我们用下面的估计量来估计平均因果效应 $${\hat{\tau }}^{\mathrm{ht}}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\frac{Z_i{Y}_i}{\hat{e}(X_i)}-\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\frac{(1-Z_i)Y_i}{1-\hat{e}(X_i)},$$ 这里 ${\displaystyle \hat{e}(X_i)}$ 是估计的倾向得分. 我们把它称为逆倾向得分加权估计量 (Inverse propensity score weighting, IPW), 也被称为 Horvitz-Thompson (HT) 估计量. 当然它有很多问题:

通常来说在有限样本下 ${\displaystyle {\hat{1}}_{\mathrm{T}}-{\hat{1}}_{\mathrm{C}}\ne 0}$, 尽管它们的期望是. 这个命题就说明 HT 估计量并不合理, 因为所有结果都加了 ${\displaystyle c}$, 因果效应不应该关于 ${\displaystyle c}$ 改变. 一个简单的修复就是对 ${\displaystyle {\hat{1}}_{\mathrm{T}},{\hat{1}}_{\mathrm{C}}}$ 进行标准化: $${\hat{\tau }}^{\mathrm{hajek}}=\frac{\sum _{i=1}^n\frac{Z_i{Y}_i}{\hat{e}(X_i)}}{\sum _{i=1}^n\frac{Z_i}{\hat{e}(X_i)}}-\frac{\sum _{i=1}^n\frac{(1-Z_i)Y_i}{1-\hat{e}(X_i)}}{\sum _{i=1}^n\frac{1-Z_i}{1-\hat{e}(X_i)}}.$$ 它在 ${\displaystyle Y_i\to Y_i+c}$ 下不会改变, 并且实验证明在有限样本下它比 ${\displaystyle {\hat{\tau }}^{\mathrm{ht}}}$ 更稳定.

2.3 的一个问题

很多渐近分析要求强重合度条件: $$0\le {\alpha }_{\mathrm{L}}\le e(X)\le {\alpha }_{\mathrm{U}}<1,$$ 也就是真正的倾向得分被严格控制在 ${\displaystyle (0,1)}$ 之间. 不过这是一个相当强的假设. 即使它成立, 估计出来的倾向得分也会接近 ${\displaystyle 0}$ 或 ${\displaystyle 1}$. 此时加权估计量会直接趋于无穷, 因此在有限样本中相当不稳定. 我们可以进行截断 ${\displaystyle max[{\alpha }_{\mathrm{L}},min\{\hat{e}(X_i),{\alpha }_{\mathrm{U}}\}]}$, 或者将 ${\displaystyle \hat{e}(X_i)}$ 超出 ${\displaystyle [{\alpha }_{\mathrm{L}},{\alpha }_{\mathrm{U}}]}$ 的单元去掉. 一般来说可以取 ${\displaystyle ({\alpha }_{\mathrm{L}},{\alpha }_{\mathrm{U}})=(0.1,0.9)}$ 或者 ${\displaystyle (0.05,0.95)}$.

3 倾向得分的平衡特性

3.1 理论介绍

这个定理不要求可忽略性, 只关于 ${\displaystyle Z,X}$. 它说明了在 ${\displaystyle e(X)}$ 下我们可以将两个总体拉到互相平衡, 是个很好的结果.

3.2 检查协变量的平衡性

在拿到结果前, 我们都要检查是否倾向得分模型足够合理, 让协变量在数据中平衡.
在倾向得分分层中, 我们用了 ${\displaystyle {\hat{e}}^{\prime }(X)}$: ${\displaystyle Z\perp \perp X|{\hat{e}}^{\prime }(X)=e_k}$, ${\displaystyle k=1,\cdots ,K}$, 因此我们能检查协变量分布在不同倾向得分分层的实验/对照组中是否相同.
在加权中, 我们可以把 ${\displaystyle h(X)}$ 看作一个假结果, 并估计 ${\displaystyle h(X)}$ 下的平均因果效应. 因为真正的 ${\displaystyle h(X)}$ 上的平均因果效应为 ${\displaystyle 0}$, 估计结果不能显著远离 ${\displaystyle 0}$. 一个典型的取法是 ${\displaystyle h(X)=X}$.